Question

16．已知函數f（x）對任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=-6，且當x≥0時，f（x）=2^x-4，定義在R上的函數g（x）=a（x-a）（x+a+1），兩函數同時滿足：?x∈R，都有f（x）＜0或g（x）＜0；?x∈（-∞，-1），f（x）•g（x）＜0，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-3，0）
• B． $（-3，-\frac{1}{2}）$
• C． （-3，-1）
• D． （-3，-1]

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，根據條件得出g（x）需滿足的條件，根據二次函數額性質列出不等式解出a的范圍．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=-6，∴函數f（x）的圖象關于點（0，-3）對稱，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-4，x≥0}\\{{-2}^{-x}-2，x＜0}\end{array}\right.$．
∴當x＜2時f（x）＜0，當x≥2，f（x）≥0．
為同時滿足兩條件，則需函數g（x）滿足①當x≥2時，g（x）＜0恒成立；②當x＜-1時，g（x）＞0有解．
（1）當a≥0時，顯然g（x）不滿足條件①；
（2）當a＜0時，方程g（x）=0的兩根為x₁=a，x₂=-a-1，
∵a＜0，∴-a-1＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜-1\\-a-1＜2\end{array}\right.$，解得-3＜a＜-1．
故選C．

點評 本題考查了函數的對稱性應用，函數解析式的求解，二次函數的性質，屬于中檔題．