Question

1．若a滿足方程xe^x=4，b滿足方程xlnx=4，則函數f（x）=log${\;}_{\sqrt{ab}}$（x+4）-（ab）^x（　　）

• A． 僅有一個或沒有零點
• B． 有兩個正零點
• C． 有一個正零點和一個負零點
• D． 有兩個負零點

Answer 1

分析 作出y=e^x，y=lnx，y=$\frac{4}{x}$的函數圖象，根據三個函數的對稱關系得出ab=4，再作出y=log₂（x+4）與y=4^x的函數圖象，根據圖象判斷結論．

解答 解：作出y=e^x，y=lnx，y=$\frac{4}{x}$的函數圖象，

設A（a，$\frac{4}{a}$），B（b，$\frac{4}{b}$），
∵y=lnx與y=e^x關于直線y=x對稱，y=$\frac{4}{x}$關于直線y=x對稱，
∴A，B關于直線y=x對稱，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{b}}\\{b=\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，即ab=4．
∴f（x）=log₂（x+4）-4^x，
作出y=log₂（x+4）與y=4^x的函數圖象，如圖所示：

由圖象可知f（x）有一正一負兩個零點．
故選C．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．