Question

6．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求函數y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，求證：存在無窮多個互不相同的整數x₀，使得g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）化簡三角函數式，利用正弦函數的單調性求單調區間；
（2）利用三角函數圖象的變換規律得到函數y=g（x），然后證明．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}×\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
因為2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，∴kπ$-\frac{π}{12}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以函數y=f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調遞增區間為[0，$\frac{5π}{12}$]；
（2）將函數向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）=sinx，g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即sinx＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以2kπ$+\frac{π}{3}$＜x＜2kπ$+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則（2kπ$+\frac{2π}{3}$）-（2k$π+\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{3}$＞1，所以對任意的整數k都存在x₀∈（2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ$+\frac{2π}{3}$），k∈Z，
即存在無窮多個互不相同的整數x₀，使得g（x₀）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題看錯了三角函數的化簡以及三角函數的性質、圖象變換；屬于中檔題．