【題目】如圖，在四棱錐
中， 
底面
，底面
為直角梯形， 
， 
， 
， 
為
的中點，平面
交
于
點.
（1）求證： 
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）二面角
的余弦值
【解析】試題分析：（1）先根據等腰三角形和已知推導出
，從而
，再由
，得
平面
，由此證明
；（2）以
坐標原點， 
為
軸， 
為
軸， 
為
軸，建立空間直角坐標系
分別求出平面
與平面
的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式能求二面角
的余弦值.
試題解析：證明：（1）因為
， 
分別為
， 
的中點， 
，所以
.
因為
，所以
.
因為
底面
，所以
.
因為
，所以
平面
.
所以
.
因為
，所以
平面
因為
平面
，所以
.
（2）如圖，以
為坐標原點，建立空間直角坐標系
.
則
， 
， 
， 
， 
.
由（1）可知， 
平面
，
所以平面
的法向量為
.
設平面
的法向量為
因為
， 
，
所以
即
令
，則
， 
，
所以
，所以
所以二面角
的余弦值
.
【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、線面垂直的判定及性質，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是偶數的概率；
（Ⅱ）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片．設取出了
次才停止取出卡片，求
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列結論：
①若扇形的中心角為2，半徑為1，則該扇形的面積為1；②函數
是偶函數；③點
是函數
圖象的一個對稱中心；④函數
在
上是減函數.其中正確結論的個數為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間有關系，某農科所對此關系進行了調查分析，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天100顆種子中的發芽數，得到如下資料：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發芽數 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗.
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出
關于
的線性回歸方程
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式： 
， 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一家公司生產某種產品的年固定成本為6萬元，每生產1千件需另投入2.9萬元，設該公司一年內生產該產品
千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為
萬元，且
.
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量
（千件）的函數解析式；
（2）求該公司生產這一產品的最大年利潤及相應的年產量.（年利潤=年銷售收入-年總成本）
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