Question

函數 f（x）=

1

2

x2-

m

2

ln（1+2x）+mx-2m，其中 m＜0．
（Ⅰ）試討論函數 f（x）的單調性；
（Ⅱ）已知當 m≤-

e

2

（其中 e是自然對數的底數）時，在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點 x₀，使 f（x₀）＞e+1成立，求 m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當 m=-1時，對任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有 

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2x2+(2m+1)x

1+2x

=

x(2x+2m+1)

2x+1

；討論導數的正負，從而確定函數的單調性；
（Ⅱ）由 m≤-

e

2

可推導出

e-1

2

≤-

2m+1

2

，故在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點 x₀，使 f（x₀）＞e+1成立可化為f（0）＞e+1，從而解得；
（Ⅲ）由導數的定義可得，對任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

可化為f′（x）＜

1

3

，任意 x∈（0，1）恒成立，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

x2-

m

2

ln（1+2x）+mx-2m，
∴f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2x2+(2m+1)x

1+2x

=

x(2x+2m+1)

2x+1

；
①當2m+1=0，即m=-

1

2

時，f′（x）≥0，
故f（x）在（-

1

2

，+∞）上是增函數；
②當0＜2m+1＜1，即-

1

2

＜m＜0時，
故f（x）在（-

1

2

，-

2m+1

2

），（0，+∞）上是增函數；
在（-

2m+1

2

，0）上是減函數；
③當m＜-

1

2

時，
f（x）在（-

1

2

，0），（-

2m+1

2

，+∞）上是增函數；
在（0，-

2m+1

2

）上是減函數；
（Ⅱ）∵m≤-

e

2

，
∴

e-1

2

≤-

2m+1

2

，
故在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點 x₀，使 f（x₀）＞e+1成立可化為
f（0）＞e+1，
即-2m＞e+1，
故m＜-

e+1

2

；
（Ⅲ）證明：當 m=-1時，
f′（x）=x+

1

2x+1

-1在（0，

2 -1

2

）上是減函數，
在（

2 -1

2

，1）上是增函數，
且f′（0）=0，f′（1）=

1

3

；
故f′（x）＜

1

3

，任意 x∈（0，1），
而由導數的定義可得，
對任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于難題．