Question

如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，將△ADE繞看A點順時針轉到到AD與AB重合的過程中，

BD

•

CE

的最大值是（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  3 2

  2

• C、

  3 3

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：設∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），則∠CAE=θ，則

BD

•

CE

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

）將其展開，運用向量的數量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡得到

5

2

-2cosθ，再由余弦函數的性質，即可得到范圍．

解答： 解：設∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），
則∠CAE=θ，
則

BD

•

CE

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

）
=

AD

•

AE

-

AD

•

AC

-

AB

•

AE

+

AB

•

AC

=1×1×cos

π

3

-1×2×cos（

π

3

-θ）-2×1×cos（

π

3

+θ）+2×2×cos

π

3

=

5

2

-2（

1

2

cosθ+

3

2

sinθ+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=

5

2

-2cosθ，
由于0≤θ≤

π

3

，則

1

2

≤cosθ≤1，
則

1

2

≤

5

2

-2cosθ≤

3

2

．
故選A．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義，考查三角函數的化簡和求最值，考查運算能力，屬于中檔題．