Question

設函數f（x）=ax-ln（x+1）^a+1（x＞-1，a∈R）．
（1）設a＞0，x＞0，求證：f（x）＞-x；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）求證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

n

2

-

5

8

（n為正整數）．

Answer 1

考點：數學歸納法,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）設g （x）=f （x）+x，求導數，確定g（x）在（0，+∞）上單調遞增，即可證明結論；
（2）求導數，分類討論，根據導數的正負，即可得出f（x）的單調遞增區間；
（3）利用數學歸納法進行證明即可．

解答： （1）解：設g （x）=f （x）+x，則g′（x）=f′（x）+1=

(a+1)x

x+1

．
∵a＞0，x＞0，∴g′（x）=

(a+1)x

x+1

＞0，
于是 g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）＞g（0）=f （0）+0=0，f （x）+x＞0在x＞0時成立，
即a＞0，x＞0時，f（x）＞-x．   …（4分）
（2）解：∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），∴f′（x）=

ax-1

x+1

．
①a=0時，f′（x）=-

1

x+1

＜0，∴f（x）在（-1，+∞）上單調遞減，無單調增區間．
②a＞0時，由 f′（x）＞0得x＞

1

a

，∴單增區間為（

1

a

，+∞）．
③a＜0時，由 f′（x）＞0得x＜

1

a

．
而 x＞-1，∴當

1

a

≤-1，即-1≤a＜0時，無單增區間；
當

1

a

＞-1，即a＜-1時，-1＜x＜

1

a

，單增區間為（-1，

1

a

）．
綜上所述：當a＜-1時，f （x） 的單調遞增區間為（-1，

1

a

）；當-1≤a≤0時，
f （x） 無單調遞增區間；a＞0時，f （x） 的單調遞增區間為（

1

a

，+∞）．…（8分）
（3）證明：①當n=2時，左邊-右邊=

ln2

22

-

3

8

=

ln 4 e3

8

＜

ln1

8

=0，
∴左邊＜右邊，不等式成立．…（9分）
②假設n=k時，不等式成立，即

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnk

k2

＜

k

2

-

5

8

 成立，
那么當n=k+1時，

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnk

k2

+

ln(k+1)

(k+1)2

＜

k

2

-

5

8

+

ln(k+1)

(k+1)2

=

k+1

2

-

5

8

+

ln(k+1)

(k+1)2

-

1

2

．…（11分）
下面證明：

ln(k+1)

(k+1)2

-

1

2

＜0．
利用第（1）問的結論，得 ax-ln（x+1）^a+1＞-x，
所以（a+1）ln（x+1）＜（a+1）x，即 ln（x+1）＜x，
因而 0＜ln（k+1）＜k，所以

ln(k+1)

(k+1)2

-

1

2

＜

k

k2+2k+1

-

1

2

＜

k

2k

-

1

2

=0．
以上表明，當n=k+1時，不等式成立．
根據①②可知，原不等式對任意正整數n都成立．…（14分）

點評：本題考查數學歸納法，考查導數知識的綜合運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．