Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

3

，左焦點為F，A，B，C為其三個頂點，直線CF與AB交于點D，則tan∠BDC的值等于

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓方程，求出A，B，C，F的坐標，再由離心率公式，得到b=

5

3

a，c=

2

3

a，再由直線的斜率公式和直線CF到直線AB的角的正切公式，即可求得．

解答： 解：由橢圓的方程可得，F（-c，0），A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
由于離心率為

2

3

，則

c

a

=

2

3

，則b=

5

3

a，c=

2

3

a，
直線AB的斜率為：

b

a

=

5

3

，
直線CF的斜率為：

b

-c

=-

5

2

則tan∠BDC=

5 3 + 5 2

1+(- 5 3 × 5 2 )

=5

5

．
故答案為：5

5

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線的斜率公式及兩直線的到角公式，考查運算能力，屬于中檔題．