Question

20．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，則$\frac{1}{A{D}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$，類比上述結論，在四面體ABCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質通過作輔助線將空間的證明問題轉化為三角形中的性質．

解答 解：類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：在四面體ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．
如圖，連接BE交CD于F，連接AF．
∵AB⊥AC，AB⊥AD
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{F}^{2}}$
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴$\frac{1}{A{F}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$，
∴$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．
故猜想正確，
故答案為$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．

點評 本題考查利用類比推理得到結論、證明類比結論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉化為類比對象的結論．