Question

8．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點E，F分別是棱BC，CC₁的中點，Q是側面BCC₁B₁內一點，若A₁Q∥平面AEF，則點Q的軌跡為（　　）

• A． 一個點
• B． 兩個點
• C． 一條線段
• D． 兩條線段

Answer 1

分析 分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，易證平面A₁MN∥平面AEF，由題意知點Q必在線段MN上．

解答 解：如下圖所示：
分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，連接BC₁，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四邊形AENA₁為平行四邊形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵Q是側面BCC₁B₁內一點，且A₁Q∥平面AEF，
則Q必在線段MN上．
故選C．

點評 本題考查考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找Q點位置．