Question

19．已知三棱錐A-BCD四個頂點都在半徑為3的球面上，且BC過球心，當三棱錐A-BCD的體積最大時，則三棱錐A-BCD的表面積為（　　）

• A． $18+6\sqrt{3}$
• B． $18+8\sqrt{3}$
• C． $18+9\sqrt{3}$
• D． $18+10\sqrt{3}$

Answer 1

分析 判斷幾何體的體積最大時的位置，然后求解三棱錐的表面積．

解答 解：三棱錐A-BCD四個頂點都在半徑為3的球面上，且BC過球心，三棱錐A-BCD的體積最大，
可知BC是球的直徑，D在大圓上，當三角形DBC是等腰直角三角形時，面積最大，如果A與球心的連線與BCD平面垂直，則幾何體的體積最大；如圖：
則三棱錐A-BCD的表面積：

此時OA=OB=OD=OC=3，AB=AD=AC=3$\sqrt{2}$，
BD=DC=3$\sqrt{2}$，三棱錐的表面積為：2×$\frac{1}{2}×6×3$+2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{2}）^{2}$=18+9$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查幾何體的外接球，幾何體的體積與幾何體的位置關系的判斷，表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．