Question

9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知$（{\sqrt{3}sinB-cosB}）（{\sqrt{3}sinC-cosC}）$=4cosBcosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面積的取值范圍；
（3）若sinB=psinC，試確定實數p的取值范圍，使△ABC是銳角三角形．

Answer 1

分析 （1 ）由已知及三角函數中的恒等變換應用，從而可求tanA=$\sqrt{3}$，即可解得A的值，
（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根據三角形的面積公式計算即可，
（3）由題意可得p=$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}$+$\frac{1}{2}$，根據角C的范圍，即可求出．

解答 解：（1）∵$（{\sqrt{3}sinB-cosB}）（{\sqrt{3}sinC-cosC}）$=4cosBcosC，
∴3sinBsinC+cosBcosC-$\sqrt{3}$sinBcosC-$\sqrt{3}$cosBsinC，
∴-$\sqrt{3}$sin（B+C）=3cos（B+C），
∴tan（B+C）=-$\sqrt{3}$，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC面積的取值范圍為（0，$\sqrt{3}$]，
（3）sinB=psinC，
∴p=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（120°-C）}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}$+$\frac{1}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴tanC＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜p＜2，
即p的范圍為$（{\frac{1}{2}，2}）$

點評 本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，考查了正弦定理余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．