Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，y）到焦點F的距離為$\frac{17}{16}$．
（1）求p的值；
（2）若圓（x-a）²+y²=1與拋物線C有公共點，結合圖形求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的定義可知該點到準線的距離為$\frac{17}{16}$，進而利用拋物線方程求得其準線方程，利用點到直線的距離求得p；
（2）分類討論，借助于判別式，即可得出結論．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上的一點M（1，y）到焦點F的距離為$\frac{17}{16}$，
∴該點到準線的距離為$\frac{17}{16}$，
∴1+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{16}$，求得p=$\frac{1}{8}$．
（2）圓心在x的負半軸時，圓（x-a）²+y²=1與拋物線C有公共點，則a≥-1；
圓心在x的正半軸時，由（1）的方程與（x-a）²+y²=1聯立，可得4x²+（1-8a）x+4a²-4=0有實數根，
則△=（1-8a）²-16（4a²-4）≥0，
解得a≤$\frac{65}{16}$，
綜上所述，實數a的取值范圍為[-1，$\frac{65}{16}$]．

點評 本題考查圓與拋物線的位置關系，考查學生分析轉化問題的能力，考查計算能力，正確合理轉化是關鍵．