Question

10．在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=$\sqrt{2}$CE=2，求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明DE∥平面ACF；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理先證明BD⊥平面ACE，然后利用線面垂直的性質證明BD⊥AE；
（Ⅲ）取BC中G，連結FG，推導出FG⊥底面ABCD，由此能求出三棱錐F-ABC的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接OF．由ABCD是正方形可知，點O為BD中點．
又F為BE的中點，∴OF∥DE．
又OF?面ACF，DE?面ACF，
∴DE∥平面ACF…．（4分）
（II）由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
解：（III）取BC中G，連結FG，
在四棱錐E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，
∵FG是△BCE的中位線，∴FG⊥底面ABCD，
∵AB=$\sqrt{2}CE=2$，∴FG=$\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐F-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×FG$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查了空間直線和平面垂直的判定定理和性質定理的應用，要求熟練掌握相應的定理，是中檔題．