Question

18．設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，其準線與x軸相交于點Q，過點F傾斜角為銳角θ的直線交拋物線于A，B兩點，若∠QBF=90°，則cosθ=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設B（x₁，y₁），∠QBF=90°，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=-1，又${y}_{1}^{2}$=2px₁，解得x₁．經過點B作BM⊥x軸，垂足為M，利用cosθ=$\frac{\frac{p}{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$即可得出．

解答 解：如圖所示，F$（\frac{p}{2}，0）$，Q$（-\frac{p}{2}，0）$．
設B（x₁，y₁），∵∠QBF=90°，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{p}{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=-1，
∴$（{x}_{1}-\frac{p}{2}）（{x}_{1}+\frac{p}{2}）$+${y}_{1}^{2}$=0，又${y}_{1}^{2}$=2px₁，
∴${x}_{1}^{2}-\frac{{p}^{2}}{4}$+2px₁=0，
解得x₁=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$p．
經過點B作BM⊥x軸，垂足為M，
則cosθ=$\frac{\frac{p}{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{5}-2}{2}p}{\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{5}-2}{2}p}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．