Question

7．已知拋物線的標準方程是y²=6x．
（Ⅰ）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）直線l過已知拋物線的焦點且傾斜角為45°，與拋物線相交于不同的兩點A、B，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線的標準方程是y²=6x，焦點在x軸上，開口向右，2p=6，即可求出拋物線的焦點坐標和準線方程，
（Ⅱ）先根據題意給出直線l的方程，代入拋物線，求出兩交點的橫坐標的和，然后利用焦半徑公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）拋物線的標準方程是y²=6x，焦點在x軸上，開口向右，2p=6，∴$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的焦點坐標（$\frac{3}{2}$，0），準線方程x=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵直線l過已知拋物線的焦點且傾斜角為45°，
∴直線l的方程為y=x-$\frac{3}{2}$，
代入拋物線y²=6x化簡得x²-9x+$\frac{9}{4}$=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=9，
所以|AB|=x₁+x₂+p=9+3=12．
故所求的弦長為12．

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關系中的弦長問題，因為是過焦點的弦長問題，所以利用了焦半徑公式．屬于基礎題．