Question

x，y滿足約束條件

x+y-2≤0 2y-x+2≥0 2x-y+2≥0

，若z=y-2ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為（　　）

• A、1或-

  1

  2

• B、

  1

  2

  或-1
• C、2或1
• D、2或-1

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，得到直線y=2ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．

解答： 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=y-2ax得y=2ax+z，即直線的截距最大，z也最大．
若a=0，此時y=z，此時，目標函數只在A處取得最大值，不滿足條件，
若a＞0，目標函數y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y-2ax取得最大值的最優解不唯一，
則直線y=2ax+z與直線2x-y+2=0平行，此時2a=2，即a=1．
若a＜0，目標函數y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y-2ax取得最大值的最優解不唯一，
則直線y=2ax+z與直線x+y-2=0，平行，此時2a=-1，解得a=-

1

2

綜上a=1或a=-

1

2

，
故選：A．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．注意要對a進行分類討論．