Question

如圖，己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為F₁，F₂，拋物線y²=4

2

x的焦點恰好是該橢圓的一個頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k（k≠0）的直線與x軸、橢圓順次交于A（2，0）、M、N三點．求證∠NF₂F₁=∠MF₂A．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線y²=4

2

x可得焦點F₂(

2

，0)，為橢圓的一個頂點．可得a=

2

．又

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，即可得出．
（Ⅱ）由題意得，直線l的方程為y=k（x-2）且k≠0．與橢圓方程聯立化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．又F₂（1，0）．利用斜率計算公式與根與系數的關系只要證明kMF2+kNF2=0即可．

解答： （I）解：由拋物線y²=4

2

x可得焦點F₂(

2

，0)，為橢圓的一個頂點．
∴a=

2

．
∵

c

a

=

2

2

，∴c=1．b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由題意得，直線l的方程為y=k（x-2）且k≠0．
聯立

y=k(x-2) x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△＞0可得k2＜

1

2

，解得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

．
又F₂（1，0）．
∴kMF2+kNF2
=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

(x1-1)(x2-1)

，
其分母=k×[

2(8k2-2)

1+2k2

-

3×8k2

1+2k2

+4]=k×

-4-8k2+4+8k2

1+2k2

=0，
∴kMF2+kNF2=0，
∴∠NF₂A+∠MF₂A=π．
∴∠NF₂F₁=∠MF₂A．

點評：本題考查了拋物線與橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、角相等轉化為直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．