Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x|+3．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥a-3|x|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤|x-2|+|x|，根據(jù)絕對值的意義，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）≥0，即|x-2|-|2x|+3≥0，
x≤0時(shí)，2-x+2x+3≥0，解得：0≥x≥-5，
0＜x＜2時(shí)，2-x-2x+3≥0，解得：0＜x≤$\frac{5}{3}$，
x≥2時(shí)，x-2-2x+3≥0，解得：x≤1，無解，
綜上，不等式的解集是[0，$\frac{5}{3}$]；
（2））若對任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥a-3|x|，
即對任意實(shí)數(shù)x，|x-2|-|2x|+3≥a-3|x|，
即a≤|x-2|+|x|，
而|x-2|+|x|≥|x-2-x|=2，
故a≤2．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．