Question

1．函數f（x）的定義域為R，f（1）=3，對任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，則不等式e^x•f（x）＞2e^x+e的解集為（　　）

• A． {x|x＜1}
• B． {x|x＞1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＜-1或0＜x＜1}

Answer 1

分析 令g（x）=e^xf（x）-2e^x-e，根據函數的單調性求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-2e^x-e，
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＜2，
∴f（x）+f′（x）-2＜0，
∴g′（x）＜0，即g（x）在R上單調遞減，
又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）-2e-e=0，
故當x＜1時，g（x）＞g（1），
即e^xf（x）-2e^x-e＞0，整理得e^xf（x）＞2e^x+e，
∴e^xf（x）＞2e^x+e的解集為{x|x＜1}．
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．