Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）是定義域為R的任意函數(shù)
（Ⅰ）求證：函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$是奇函數(shù)，h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$是偶函數(shù)
（Ⅱ）如果f（x）=ln（e^x+1），試求（Ⅰ）中的g（x）和h（x）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對于g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，先分析定義域，再計算可得g（-x）=-g（x），故可得g（x）為奇函數(shù)，對于h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，先分析定義域，再計算可得h（-x）=h（x），可以證明h（x）為偶函數(shù)，
（Ⅱ）將f（x）=ln（e^x+1）代入g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，計算可得g（x）的值，又由f（x）=g（x）+h（x），即h（x）=f（x）-g（x），計算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：對于g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，其定義域為R，
有g(shù)（-x）=$\frac{f（-x）-f（x）}{2}$=-g（x），則g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$為奇函數(shù)；
h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，其定義域為R，
h（-x）=$\frac{f（-x）+f（x）}{2}$=h（x），則h（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$為偶函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）=ln（e^x+1），
則g（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$=$\frac{ln（{e}^{x}+1）-ln（{e}^{-x}+1）}{2}$=$\frac{ln{e}^{x}}{2}$=$\frac{ln（\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{-x}+1}）}{2}$=$\frac{x}{2}$，
而f（x）=g（x）+h（x），
則h（x）=f（x）-g（x）=ln（e^x+1）-$\frac{x}{2}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性的運用，關(guān)鍵是靈活運用函數(shù)的奇偶性，注意涉及函數(shù)的奇偶性時，要優(yōu)先分析定義域．