Question

8．設函數f（x）=|sinx|+|cosx|，x∈R，則下列結論正確的是①②（寫出所有正確結論的編號）．
①f（x）為偶函數    
②f（x）的最大值為$\sqrt{2}$    
③f（x）的最小值為0
④f（$\frac{9π}{10}$）＞f（$\frac{π}{9}$）    
⑤f（x）的最小正周期為π

Answer 1

分析 由f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+|cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx|+|sinx|，得f（x）的最小正周期$\frac{π}{2}$，分析函數y=|sinx|+|cosx|在[0，$\frac{1}{2}$]的圖象、性質即可

解答 解：∵由f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+|cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx|+|sinx|=f（x），得f（x）的周期為$\frac{π}{2}$．
故只需考查函數y=|sinx|+|cosx|x∈[0，$\frac{π}{2}$]
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$
∵$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴$f（x）∈[1，\sqrt{2}]$
且函數f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調遞增．
∵f（x）=f（-x），f（x）的周期為$\frac{π}{2}$．
∴f（$\frac{9π}{10}$）=f（$\frac{π}{10}$）$＜f（\frac{π}{9}）$．
故答案為：①②

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數，正弦函數的性質，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．