Question

18．已知a，b，c分別為銳角△ABC的三個內角A，B，C的對邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式，利用三角形內角和定理及三角函數恒等變換的應用化簡可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結合A的范圍，利用正弦函數的性質即可求A的值．
（2）利用正弦定理可求2R=$\frac{a}{sinA}$的值，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得bc=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，結合范圍B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），由正弦函數的性質可求bc的范圍，由三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，可得：$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
由于C為三角形內角，sinC≠0，
所以化簡得$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…3分
因為A∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
所以A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵2R=$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，…（7分）
∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsin（B+$\frac{π}{3}$）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，…9分
∵△ABC是銳角三角形，
∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：bc∈（2，3]，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]，…（11分）
∴△ABC的面積的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，正弦函數的圖象和性質，考查了三角形內角和定理及三角函數恒等變換的應用，屬于中檔題．