Question

3．已知拋物線的頂點在原點，焦點F在x軸上，且過點（4，4）．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是拋物線上一動點，M點是PF的中點，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線方程y²=2px（p＞0），將點（4，4），代入即可求得拋物線方程及焦點坐標；
（Ⅱ）M點是PF的中點，由中點坐標公式，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，代入拋物線方程，求得點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線焦點F在x軸上，且過點（4，4），設拋物線方程y²=2px（p＞0）．
將點（4，4），代入拋物線方程，16=2×4p，解得：p=2，
∴拋物線的標準方程y²=4x，焦點坐標（1，0）；
（Ⅱ）設M（x，y），P（x₀，y₀），F（1，0），M點是PF的中點，
則x₀+1=2x，0+x₀=2y，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
P是拋物線上一動點，y₀²=4x₀，代入（2y）²=4（2x-1），
∴y²=2x-1．

點評 本題考查拋物線標準方程及簡單幾何性質，考查中點坐標公式，考查待定系數法，屬于中檔題．