Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點（1，$\frac{3}{2}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程，
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓C相切，切點為T，且直線l與直線x=4相交于點S．試問：在坐標平面內是否存在一定點，使得以ST為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：將點代入橢圓方程，利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△=0，求得4k²-m²+3=0，利用韋達定理及中點坐標公式，求得T點坐標，聯立即可求得S點坐標，由$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0，根據向量數量積的坐標運算，可得$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{1}-4=0}\\{{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}+3=0}\end{array}\right.$，即可求得A點坐標，即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點（1，0）．

解答 解：（Ⅰ）由點（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上得，代入橢圓方程：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，①----------（1分）
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，a²=4c²，b²=3c²，②----------（2分）
②代入①解得c²=1，a²=4，b²=3，
故橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；-----------（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0；
因為動直線l與橢圓C相切，即它們有且只有一個公共點T，可設T（x₀，y₀），
m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0，
∴4k²-m²+3=0，③----（6分）
此時，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3}{m}$，則T（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$）．----------（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得S（4，4k+m）．-------------------------------------------------------（8分）
假設平面內存在定點滿足條件，不妨設為點A．
由圖形對稱性知，點A必在x軸上．-------------------------------------------------（9分）
設A（x₁，0），則由已知條件知AS⊥AT，
即$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0對滿足③式的m，k恒成立．-----------------------------------------（10分）
由$\overrightarrow{AS}$=（4-x₁，4k+m），$\overrightarrow{AT}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁，$\frac{3}{m}$），由$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{AT}$=0得：-$\frac{16k}{m}$+$\frac{4k{x}_{1}}{m}$-4x₁+x₁²+$\frac{12k}{m}$+3=0，
整理得（4x₁-4）$\frac{k}{m}$+x₁²-4x₁+3=0，④-----------------------（12分）
由②式對滿足①式的m，k恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{1}-4=0}\\{{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}+3=0}\end{array}\right.$，解得x₁=1．
故平面內存在定點（1，0），使得以ST為直徑的圓恒過該定點．-----------------（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．