Question

11．已知函數f（x）滿足f（x）=-f（2-x），x∈R，且在[1，+∞）上遞增，若g（x）=f（1+x），且2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），則實數a的范圍為（　�。�

• A． （0，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先判斷函數f（x）的奇偶性，再判斷g（x）的奇偶性和單調區間，化簡不等式解得即可．

解答 解：∵函數f（x）對?x∈R滿足f（x）=-f（2-x），
∴f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，
∵g（x）=f（1+x），f（x）在[1，+∞）上遞增
∴g（x）也為奇函數，并且在（0，+∞）是增函數，
∵g（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）=g（-log₂^a），2g（log₂a）-3g（1）≤g（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a），
∴3g（log₂^a）≤3g（1），
即log₂^a≤1，
解得：0＜a≤2．
故選：A．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性的綜合應用，注意自變量的取值范圍，考查了學生的轉化能力．