Question

18．已知函數f（x）=|2x-a|-|x|，a∈R
（1）當a=2時，解關于的不等式f（x）＞1；
（2）若f（x）≥4-|2x+a|-|x|對?x∈R恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式否定解集，取并集即可；
（2）根據絕對值的性質，問題轉化為$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=2時，|2x-2|-|x|＞1．
當x＜0時，-2x+2+x＞1，∴x＜1，∴x＜0
當0≤x＜1時，-2x+2-x＞1，∴$0≤x＜\frac{1}{3}$；
當x≥1時，2x-2-x＞1，∴x＞3
故所求不等式的解集為$（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{3，+∞}）$…（5分）
（2）由f（x）≥4-|2x+a|-|x|得|2x-a|+|2x+a|≥4恒成立，
即$|{x-\frac{a}{2}}|+|{x+\frac{a}{2}}|≥2$恒成立，∴|a|≥2，
故實數的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）…..（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，是一道中檔題．