Question

10．已知f（x）=（x²-2ax）lnx+2ax-$\frac{1}{2}$x²，其中a∈R．
（1）若a=0，且曲線f（x）在x=t處的切線l過原點，求直線l的方程；
（2）求f（x）的極值；
（3）若函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），證明f（x₁）+f（x₂）＜$\frac{1}{2}$a²+3a．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，根據切線的和導函數的關系求解 即可；、
（2）求出導函數f'（x）=（2x-2a）lnx，對a進行分類討論，在不同區間求出函數的單調性，進而判斷函數的最值問題；
（3）根據（2）可知a的范圍，得出f（x₁）+f（x₂）=f（a）+f（1），作差放縮可得$f（{x_1}）+f（{x_2}）-（\frac{1}{2}{a^2}+3a）$=$-{a^2}lna+{a^2}-a-\frac{1}{2}＜-{a^2}（lna-1+\frac{1}{a}）$，構造函數$g（a）=lna-1+\frac{1}{a}$，利用導函數得出函數的單調性，得出g（a）＞g（1）=0，得出結論．

解答 解：（1）當a=0時，$f（x）={x^2}lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，f'（x）=2xlnx，所以切線I的斜率k=f'（t）=2tlnt，又直線I過原點，所以k=tlnt-$\frac{1}{2}$t，
，由2tlnt=tlnt-$\frac{1}{2}$t，得lnt=-$\frac{1}{2}$，t=$\frac{1}{\sqrt{e}}$．所以k=f'（-$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=-$\frac{1}{\sqrt{e}}$，故切線I的方程為y=-$\frac{x}{\sqrt{e}}$．
（2）由f（x）=（x²-2ax）lnx+2ax-$\frac{1}{2}$x²，可得f'（x）=（2x-2a）lnx，
①當a≤0時f'（x）＞0得x＞1，f'（x）＜0得0＜x＜1，
f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，f（x）在x=1時取到極小值，且f（1）=2a-$\frac{1}{2}$，f（x）沒有極大值．
②當0＜a＜1時，f'（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，f'（x）＜0得a＜x＜1．f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞增，在（a，1）上單調遞減，
f（x）在x=a時取到極大值，且f（a）=-a²lna+$\frac{3}{2}{a}^{2}$，f（x）在x=1時取到極小值，且f（1）=2a-$\frac{1}{2}$；
③當a=1時f'（x）≥0恒成立恒成立，f（x）在R上單調遞增，f（x）沒有極大值也沒有極小值；
④當a＞1時f'（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜a，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減，f（x）在x=a時取到極小值，且f（a）=-a²lna+$\frac{3}{2}{a}^{2}$，．f（x）在x=1時取到極大值，且f（1）=2a-$\frac{1}{2}$；
綜上可得，當a≤0時，f（x）在x=1時取到極小值2a-$\frac{1}{2}$，f（x）沒有極大值；
當0＜a＜1時，f（x）在x=a時取到極大值-a²lna+$\frac{3}{2}{a}^{2}$，在x=1時取到極小值2a-$\frac{1}{2}$；
當a=1時，f（x）沒有極大值也沒有極小值；
當a＞1時，f（x）在x=a時取到極小值$-{a^2}lna+\frac{3}{2}{a^2}$，在x=1時取到極大值$2a-\frac{1}{2}$．
（3）由（2）知當a＞0且a≠1時，f（x）有兩個極值f（x）點x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）=f（a）+f（1），$f（{x_1}）+f（{x_2}）-（\frac{1}{2}{a^2}+3a）$=$-{a^2}lna+{a^2}-a-\frac{1}{2}＜-{a^2}（lna-1+\frac{1}{a}）$，
設$g（a）=lna-1+\frac{1}{a}$，則$g'（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}=\frac{a-1}{a^2}$，所以g（a）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，由a＞0且a≠1可得g（a）＞g（1）=0，所以$f（{x_1}）+f（{x_2}）-（\frac{1}{2}{a^2}+3a）＜$$-{a^2}（lna-1+\frac{1}{a}）＜0$，即$f（{x_1}）+f（{x_2}）＜\frac{1}{2}{a^2}+3a$．

點評 本題考查了導函數的綜合應用和參數的分類討論，難點是參數的討論和函數的構造．