Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2，直線y=kx（x≠0）與橢圓C交于A，B兩點，M為其右準線與x軸的交點，直線AM，BM分別與橢圓C交于A₁，B₁兩點，記直線A₁B₁的斜率為k₁
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在常數λ，使得k₁=λk恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意c=1，根據橢圓的離心率，即可求得a的值，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（2）根據橢圓的準線方程，即可求得AM的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理即可求得A₁及B₁，k₁=$\frac{-6{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=-3k，存在λ=-3，使得k₁=λk恒成立．

解答 解：（1）由橢圓的焦距2c=2，則c=1，雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設A（x₀，y₀），則2y₀²=2-y₀²，則B（-x₀，-y₀），k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
右準線方程x=2，則M（2，0），
直線AM的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀-2）²x²+2y₀²（x-2）²-2（x₀-2）²=0，
該方程兩個根為x₀，${x}_{{A}_{1}}$，
∴x₀•${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{8{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+2{y}_{0}^{2}}$=$\frac{4（2-{x}_{0}^{2}）-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+2-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$•x₀，
則${x}_{{A}_{1}}$=$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，${y}_{{A}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（${x}_{{A}_{1}}$-2）=$\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，
則A₁（$\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，$\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}$），同理可得B₁（$\frac{4+3{x}_{0}}{3+2{x}_{0}}$，-$\frac{{y}_{0}}{3+2{x}_{0}}$），
則k₁=$\frac{-6{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=-3k，
即存在λ=-3，使得k₁=λk恒成立．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．