Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos4ωx），$\overrightarrow{b}$=（sin4ωx，1）（ω＞0），令f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且f（x）的周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]時f（x）+m≤2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積，再結合輔助角公式進行化簡，又f（x）的周期為$\frac{π}{2}$，可以求出ω=1從而求出的f（x）解析式．
（2）根據所給的定義域求求出f（x）的值域，再根據不等式恒成立問題即可求出參數m的取值范圍．

解答 解：由題意：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
∴f（x）=$\sqrt{3}sin4ωx$+cos4ωx
=2sin（4ωx$+\frac{π}{6}$）
∵f（x）的周期為$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{4ω}$=$\frac{π}{2}$，
解得：ω=1
所以函數f（x）的解析式為：f（x）=2sin（4x$+\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（4x$+\frac{π}{6}$）；
當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，則4x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴sin（4x$+\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
則函數f（x）∈[-1，2]
要使f（x）+m≤2恒成立，只需2+m≤2即可．
解得：m≤0．
所以實數m的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查了向量的乘積的運算和三角函數的化簡，解析式的求法以及三角函數的性質的運用．屬于中檔題．