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2.已知向量$\overrightarrow{a}$=($\sqrt{3}$,cos4ωx),$\overrightarrow{b}$=(sin4ωx,1)(ω>0),令f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$且f(x)的周期為$\frac{π}{2}$.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若x∈[0,$\frac{π}{4}$]時f(x)+m≤2,求實數m的取值范圍.

分析 (1)根據平面向量的數量積,再結合輔助角公式進行化簡,又f(x)的周期為$\frac{π}{2}$,可以求出ω=1從而求出的f(x)解析式.
(2)根據所給的定義域求求出f(x)的值域,再根據不等式恒成立問題即可求出參數m的取值范圍.

解答 解:由題意:f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
∴f(x)=$\sqrt{3}sin4ωx$+cos4ωx
=2sin(4ωx$+\frac{π}{6}$)
∵f(x)的周期為$\frac{π}{2}$,即T=$\frac{2π}{4ω}$=$\frac{π}{2}$,
解得:ω=1
所以函數f(x)的解析式為:f(x)=2sin(4x$+\frac{π}{6}$).
(2)由(1)可知f(x)=2sin(4x$+\frac{π}{6}$);
當x∈[0,$\frac{π}{4}$]時,則4x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$]
∴sin(4x$+\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1]
則函數f(x)∈[-1,2]
要使f(x)+m≤2恒成立,只需2+m≤2即可.
解得:m≤0.
所以實數m的取值范圍是(-∞,0].

點評 本題考查了向量的乘積的運算和三角函數的化簡,解析式的求法以及三角函數的性質的運用.屬于中檔題.

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