Question

7．已知圓 x²+y²+2x-4y+1=0，關于直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）對稱，則$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值為$5+2\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由題意直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）經過圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心（-1，2），從而a+b=1，進而$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b），由此能求出$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：∵圓 x²+y²+2x-4y+1=0，關于直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）對稱，
∴直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）經過圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=$\frac{2a}{b}+\frac{3b}{a}+5$≥2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{3b}{a}}$+5=5+2$\sqrt{6}$．
當且僅當$\frac{2a}{2}=\frac{3b}{a}$時取等號，
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值為$5+2\sqrt{6}$．
故答案為：$5+2\sqrt{6}$．

點評 本題考查代數式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質和基本不等式的合理運用．