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19.若實數x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$,則$\frac{x}{y}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$].

分析 設k=$\frac{y}{x}$,則$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$,利用k的幾何意義,以及數形結合進行求解即可.

解答 解:設k=$\frac{y}{x}$,則$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$,
則k的幾何意義是區域內的點到原點的斜率,
作出不等式組對應的平面區域,
由圖象知OA的斜率最大,OC的斜率最小,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$,即A(1,2),
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$,即C($\frac{3}{2}$,1),
則OA的斜率k=2,OC的斜率k=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$,
則$\frac{2}{3}$≤k≤2,
則$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{3}{2}$,
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{y}$≤$\frac{3}{2}$,
則$\frac{x}{y}$的范圍是[$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$],
故答案為:[$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$].

點評 本題主要考查線性規劃的應用,利用k的幾何意義,結合數形結合是解決本題的關鍵.

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