Question

19．若實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，則$\frac{x}{y}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 設k=$\frac{y}{x}$，則$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$，利用k的幾何意義，以及數形結合進行求解即可．

解答 解：設k=$\frac{y}{x}$，則$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1}{k}$，
則k的幾何意義是區域內的點到原點的斜率，
作出不等式組對應的平面區域，
由圖象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，1），
則OA的斜率k=2，OC的斜率k=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
則$\frac{2}{3}$≤k≤2，
則$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{y}$≤$\frac{3}{2}$，
則$\frac{x}{y}$的范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用k的幾何意義，結合數形結合是解決本題的關鍵．