Question

10．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形．E、F分別是AB、PD的中點．若PA=AD=3，CD=$\sqrt{6}$，
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求證：AF⊥平面PCD；
（3）求平面PBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點M，連結FM，EM，推導出四邊形AEMF是平行四邊形，從而EM∥AF，由此能證明AF∥平面PCE．
（2）推導出AF⊥PD，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明AF⊥平面PCD．
（3）推導出PA⊥BC，AB⊥BC，∠PBA是平面PBC與平面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出平面PBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取PC中點M，連結FM，EM，
則FM是△DPC的中位線，∴FM∥=$\frac{1}{2}CD$
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥=CD，
∵E是AB中點，∴FM∥=$\frac{1}{2}AB$，
∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴EM∥AF，
∵AF?平面AFM，EM?平面AFM，
∴AF∥平面PCE．（4分）
解：（2）∵PA=AD，F為PD的中點，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四邊形ABCD是矩形
∴CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
又AF?平面PAD，∴AF⊥CD，
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．（9分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA是平面PBC與平面ABCD所成的二面角的平面角，
∵$tan∠PBA=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴cos$∠PBA=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴平面PBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．（14分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．