Question

4．已知a₁=1，a_n-2a_n-1=2ⁿ，則{a_n}的通項公式為（2n-1）×2^n-1．

Answer 1

分析 a_n-2a_n-1=2ⁿ，變形為：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∴數列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數列，公差為1，首項為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$．
則{a_n}的通項公式為：a_n=（2n-1）×2^n-1．
故答案為：（2n-1）×2^n-1．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．