Question

14．各項均為正數的等差數列{a_n}前n項和為S_n，首項a₁=3，數列{b_n} 為等比數列，首項b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）設f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$（n∈N*），求f（n）最大值及相應的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出等差數列的公差和等比數列的公比，由已知列式求得等差數列的公差和等比數列的公比，則a_n和b_n可求；
（Ⅱ）把等差數列{a_n}的通項和前n項和為S_n代入f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$，整理后利用基本不等式求得f（n）最大值及相應的n的值．

解答 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，則d＞0，
∴${a}_{n}=3+（n-1）d，{b}_{n}={q}^{n-1}$，
依題意：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{3}{S}_{3}=（9+3d）{q}^{2}=960}\\{{b}_{2}{S}_{2}=（6+d）q=64}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$（舍）．
∴a_n=2n+1，${b}_{n}={8}^{n-1}$；
（Ⅱ）∵S_n=n（n+2），
∴f（n）=$\frac{{a}_{n}-1}{{S}_{n}+100}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+2n+100}=\frac{2}{n+\frac{100}{n}+2}$≤$\frac{2}{2\sqrt{n•\frac{100}{n}}+2}=\frac{1}{11}$．
當且僅當n=$\frac{100}{n}$，即n=10時取等號．
∴當n=10時，所求最小值為$\frac{1}{11}$．

點評 本題考查等差數列與等比數列的通項公式，考查了數列的函數特性，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．