Question

己知函數f（x）=tx，g（x）=（2-t）x²-4x+l．若對于任一實數x₀，函數值f（x₀）與g（x₀）中至少有一個為正數，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2]
• B、（-2，0）∪（-2，2]
• C、（-2，2]
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：不論t為何值，對于任一實數x，f（x）與g（x）的值至少有一個為正數，所以對t分類討論，即t=0、t=2、t＞2，t＜-2 討論f（x）與g（x）的值的正負，排除即可得出答案．

解答： 解：函數f（x）=tx，g（x）=（2-t）x²-4x+l．
△=16-4×（2-t）×1=8+4t，
①當t=0時，f（x）=0，△＞0，g（x）有正有負，不符合題意，故排除C．
②當t=2時，f（x）=2x，g（x）=-4x+1，符合題意，
③當t＞2時，g（x）=（2-t）x²-4x+l．f（x）=tx，當x取-∞時，f（x₀）與g（x₀）都為負值，不符合題意，故排除D
④當t＜-2時，△＜0，∴g（x）=（2-t）x²-4x+l＞0恒成立，符合題意，故B不正確，
故選：A

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，考查分類討論思想，排除轉化思想，是中檔題．