Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，則k＞0時，F（x）=f（f（x））+2的零點個數是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，結合對數函數的性質判斷函數的零點個數即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，
（1）x＞1時，lnx＞0，$\frac{lnx}{x}$＞0，
∴y=f（f（x））+2=$\frac{ln\frac{lnx}{x}+2\frac{lnx}{x}}{\frac{lnx}{x}}$，此時的零點為x=1不滿足要求，
（2）0＜x＜1時，lnx＜0，
∴y=f（f（x））+1=klnx+1，
則k＞0時，有一個零點，
（3）若x＜0，kx+1≤0時，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，
則k＞0時，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一個零點，
（4）若x＜0，kx+1＞0時，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，
則k＞0時，即y=0可得kx+1=$\frac{1}{e}$，y有一個零點，
綜上可知，當k＞0時，有3個零點；
故選：B．

點評 本題考查了函數的零點問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．