Question

18．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理可得：四邊形EFGH是平行四邊形．由EH∥BD，EF∥AC，BD⊥AC，可得EF⊥EH．即可證明平行四邊形EFGH是矩形．

解答 證明：∵E、F分別是空間四邊形四條邊AB、BC的中點，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC．
同理可得GH∥AC．∴EF∥GH，EF=$\frac{1}{2}$GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
可得EH∥BD，又BD⊥AC，
∴EF⊥EH．
∴平行四邊形EFGH是矩形．

點評 本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定定理、異面直線所成的角，考查了推理能力，屬于基礎題．