Question

13．多面體ABCDEF（如圖甲）的俯視圖如圖乙，己知面ADE為正三角形．
（1）求多面體ABCDEF的體積；
（2）求證：平面ACF⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （1）分別取AB、CD的中點H，N，連結EH，EN，HN，多面體體積轉化為棱柱AED-HFN的體積V₁與四棱錐F-HBCN的體積V₂之和，由此能求出多面體ABCDEF的體積．
（2）連結AC，BD，交于點O，取AD中點M，連結OM，EM，FO，推導出FO⊥AC，BD⊥AC，從而AC⊥面BDF，由此能證明面ACF⊥面BDF．

解答 解：（1）分別取AB、CD的中點H，N，
連結EH，EN，HN，
多面體體積轉化為棱柱AED-HFN的體積V₁與四棱錐F-HBCN的體積V₂之和，
由三視圖知AD=2，AM=DN=1，
又面ADE為正三角形，且垂直于底面ABCD，
∴F到底面距離為$\sqrt{3}$，
∴多面體ABCDEF的體積V=V₁+V₂=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
證明：（2）連結AC，BD，交于點O，
取AD中點M，連結OM，EM，FO，
由題意得四邊形MOFE為平行四邊形，
由EM⊥底面ABCD，得FO⊥底面ABCD，
∴FO⊥AC，
又BD⊥AC，∴AC⊥面BDF，
又AC?平面ACF，
∴面ACF⊥面BDF．

點評 本題考查多面體的體積的求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．