Question

5．已知函數f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定義域為A，函數g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域為B．
（1）求A∩B；
（2）若C={x|a≤x≤2a-1}，且C∩B=C，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得：A={x|x≥2}，B={y|1≤y≤2}，由此能求出A∩B．
（2）求出B={y|1≤y≤2}，又C?B，由2a-1＜a，和2a-1≥a兩種情況分類討論能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定義域為A，
函數g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域為B．
∴由題意得：A={x|x≥2}…2分，B={y|1≤y≤2}…4分，
∴A∩B={2}…6分
（2）由（1）知：B={y|1≤y≤2}，又C?B，
①當2a-1＜a，即a＜1時，C=∅，滿足題意；
②當2a-1≥a，即a≥1時，
要使C?B，則有$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，
解得1$≤a≤\frac{3}{2}$．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．…12分

點評 本題考查交集的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意交集性質的合理運用．