Question

20．已知復(fù)數(shù)z=（cosθ-isinθ）（1+i），則“z為純虛數(shù)”的一個充分不必要條件是（　　）

• A． $θ=\frac{π}{4}$
• B． $θ=\frac{π}{2}$
• C． $θ=\frac{3π}{4}$
• D． $θ=\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)的運算法則、三角函數(shù)求值、純虛數(shù)的定義即可得出．

解答 解：復(fù)數(shù)z=（cosθ-isinθ）（1+i）=$\sqrt{2}$[cos（-θ）+isin（-θ）]（$cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$$（cos（\frac{π}{4}-θ）+isin（\frac{π}{4}-θ）$），
z為純虛數(shù)?$cos（\frac{π}{4}-θ）$=0，$sin（\frac{π}{4}-θ）$≠0，
經(jīng)過驗證可得：$θ=\frac{3π}{4}$是“z為純虛數(shù)”的一個充分不必要條件．
故選：C．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、三角函數(shù)求值、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．