Question

17．已知函數f（x）=3x²-2ax+3（a為常數），命題p：y=f（x）有兩個不同的零點；命題q：f（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則命題p，q一真一假，進而可得a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=3x²-2ax+3，
若命題p：y=f（x）有兩個不同的零點為真命題，
則△=4a²-36＞0，
解得：a＜-3，或a＞3；
若命題q：f（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立為真命題，
則對稱軸x=$\frac{a}{3}≤0$，
解得：a≤0，
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，
則命題p，q一真一假，
當p真q假時，a＞3；
當p假q值時，-3≤a≤0，
綜上可得：-3≤a≤0，或a＞3；

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數零點的存在性及個數判斷，函數恒成立問題，難度中檔．