Question

7．已知函數g（x）=a-x³（$\frac{1}{e}≤x≤e\;，\;e$為自然對數的底數）與h（x）=3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是[1，e³-3]．

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在[$\frac{1}{e}$，e]上有解，構造函數f（x）=3lnx-x³，求出它的值域，得到-a的范圍即可．

解答 解：由已知，得到方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．
設f（x）=3lnx-x³，求導得：f′（x）=$\frac{3}{x}$-3x²=$\frac{3（1-{x}^{3}）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-3-$\frac{1}{{e}^{3}}$，f（e）=3-e³，f（x）_極大值=f（1）=-1，
且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在上有解等價于3-e³≤-a≤-1．
從而a的取值范圍為[1，e³-3]．
故答案為：[1，e³-3]．

點評 本題考查了構造函數法求方程的解及參數范圍；關鍵是將已知轉化為方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在上有解．