Question

17．已知函數f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（1+x），令h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函數h（x）定義域，判斷h（x）的奇偶性并寫出證明過程．
（2）判斷函數h（x）在定義域內的單調性，寫出必要的推理過程．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，利用奇函數的定義進行證明；
（2）利用函數單調性的定義判斷及證明．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，可得-1＜x＜1，函數的定義域為（-1，1）．
h（-x）=f（-x）-g（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-h（x）
∴h（x）是奇函數．
（2）函數h（x）在定義域內的單調增．
設1＜x₁＜x₂，h（x₁）-h（ x₂）=${log_2}\frac{{（{x_1}-1）（{x_2}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}-1）}}={log_2}\frac{{{x_1}{x_2}-1+（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}-1-（{x_1}-{x_2}）}}$，
真數分子，分母都為正，且分子＜分母．
所以0＜真數＜1，
所以h（x₁）-h（ x₂）＜0，h（x₁）＜h（x₂），
∴函數h（x）在定義域內的單調增．

點評 本題考查函數的單調性與奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．