Question

9．已知函數f（x）=x³-3x，則函數g（x）=f（f（x））-1的零點個數為（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 利用換元法設t=f（x），求函數的導數判斷函數的單調性和極值，結合數形結合即可得到結論．

解答 解：設t=f（x），則由y=f[f（x）]-1=0，
得f[f（x）]=1，
即f（t）=1，t=f（x），
函數f（x）的導數f′（x）=3x²-3；
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，此時函數單調遞減，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，此時函數單調遞增，
即函數f（x）在x=1時取得極小值f（1）=1-3=-2，
函數在x=-1，取得極大值f（-1）=（-3）+3=2，
若f（t）=1，則方程有三個解，滿足-2＜t₁＜-1，
-1＜t₂＜0，1＜t₃＜2，如圖所示；
則當-2＜t₁＜-1時，方程t=f（x）有3個根，
當-1＜t₂＜0時，方程t=f（x）有3個根，
當1＜t₃＜2時，方程t=f（x）有3個根，
則共有9個根．
故選：

點評 本題主要考查了函數方程的應用，利用換元法，結合數形結合是解決本題的關鍵．