Question

7．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-2$\sqrt{3}$，0），上下頂點分別為A，B，已知△AFB是等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

分析 （1）利用左焦點為F（-2$\sqrt{3}$，0），上下頂點分別為A，B，△AFB是等邊三角形，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解K_OM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

解答 解：（1）由題意，c=2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$b=c，
∴b=2
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=4
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
證明：（2）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
把直線y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$可得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-16=0，
故x_M=$\frac{1}{2}$ （x₁+x₂）=$\frac{-4kb}{4{k}^{2}+1}$，y_M=kx_M+b=$\frac{b}{4{k}^{2}+1}$，
于是在OM的斜率為：K_OM=$\frac{\frac{b}{4{k}^{2}+1}}{\frac{-4kb}{4{k}^{2}+1}}$=-$\frac{1}{4k}$，
即K_OM•k=-$\frac{1}{4}$．
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值

點評 本題考查橢圓方程的綜合應用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．