Question

16．過拋物線C：y²=4x的焦點F作直線l交拋物線C于A、B兩點，若A到拋物線的準線的距離為5，則|AB|=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 先求出A的坐標，可得直線AB的方程，代入拋物線C：y²=4x，求出B的橫坐標，利用拋物線的定義，即可求出|AB|．

解答 解：拋物線C：y²=4x的準線方程為x=-1，焦點F（1，0）．
∵A到拋物線的準線的距離為5，
∴A的橫坐標為4，
代入拋物線C：y²=4x，可得A的縱坐標為±4，
不妨設A（4，4），則k_AF=$\frac{4}{3}$，
∴直線AB的方程為y=$\frac{4}{3}$（x-1），
代入拋物線C：y²=4x，可得$\frac{16}{9}$（x-1）²=4x，
即4x²-17x+4=0，
∴x=4或x=$\frac{1}{4}$，
∴B的橫坐標為$\frac{1}{4}$，
∴B到拋物線的準線的距離為$\frac{5}{4}$，
∴|AB|=5+$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$．
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．