Question

5．已知E，F為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦點，拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線有公共的焦點F，且與雙曲線交于不同的兩點A，B，若$|AF|=\frac{4}{5}|BE|$，則雙曲線的離心率為$4±\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義求出|BE|=10a，|BF|=8a，結合拋物線的定義求出交點B的縱坐標，結合直角三角形的邊角關系建立方程進行求解即可．

解答 解：根據雙曲線和拋物線的對稱性得|BF|=|AF|=$\frac{4}{5}$|BE|，
∵|BE|-|BF|=2a，
∴|BE|-$\frac{4}{5}$|BE|=$\frac{1}{5}$|BE|=2a，
則|BE|=10a，|BF|=8a，
∵拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線有公共的焦點F，
∴$\frac{p}{2}$=c，且x=-c是拋物線的準線，
則|BD|=|BF|=8a，
設B（x，y），則由拋物線的性質得x+c=8a，即x=8a-c，
代入拋物線方程y²=2px=4cx得y²=4c（8a-c），
則|DE|²=y²=4c（8a-c），
在直角三角形BDE中，
BE²=DE²+BD²，
即100a²=64a²+4c（8a-c），
即36a²-32ac+4c²=0，
即c²-8ac+9a²=0，
解e²-8e+9=0，
得e=$4±\sqrt{7}$，
故答案為$4±\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據拋物線和雙曲線的定義建立方程關系，求出a，c的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．