Question

8．設函數f（x）=e^x-3-x-ax²．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≥-2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=0時，求導數，利用導數的正負，即可求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）證明 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，分類討論，利用x≥0時，f（x）≥-2，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） a=0時，f（x）=e^x-3-x，f′（x）=e^x-1．…（1分）
當 x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0；當 x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0．
故 f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增．…（4分）
（Ⅱ） f′（x）=e^x-1-2ax．
由（Ⅰ）a=0時f（x）≥-2知e^x≥1+x，當且僅當 x=0時等號成立，…（5分）
故 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，…（6分）
當 $a≤\frac{1}{2}$時，1-2a≥0，f′（x）≥0（x≥0），f（x）在R上是增函數，
又f（0）=-2，于是當 x≥0時，f（x）≥-2．符合題意．…（8分）
當$a＞\frac{1}{2}$時，由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（ x≠0）．
所以f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當 x∈（0，ln2a）時，f′（x）＜0，而 f（0）=-2，
于是當 x∈（0，ln2a）時，f（x）＜-2 …（11分）
綜合得 a的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（12分）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．