Question

11．已知函數f（x）=x²+bx+c，其對稱軸為y軸（其中b，c為常數）
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）記函數g（x）=f（x）-2，若函數g（x）有兩個不同的零點，求實數c的取值范圍；
（Ⅲ）求證：不等式f（c²+1）＞f（c）對任意c∈R成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函數f（x）=x²+bx+c，其對稱軸為y軸，則$-\frac{b}{2}$=0，解得b值；
（Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）-2=x²+c-2，若函數g（x）有兩個不同的零點，則△=-4（c-2）＞0，解得c的范圍；
（Ⅲ）函數f（x）=x²+c的開口朝上，證得|c²+1|²-|c|²＞0恒成立，可得不等式f（c²+1）＞f（c）對任意c∈R成立．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x²+bx+c，其對稱軸為y軸，
∴$-\frac{b}{2}$=0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x²+c，
則g（x）=f（x）-2=x²+c-2，
若函數g（x）有兩個不同的零點，
則△=-4（c-2）＞0，
解得：c＜2；
（Ⅲ）證明：函數f（x）=x²+c的開口朝上，
∵|c²+1|²-|c|²=c⁴+c²+1=（c²+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
故|c²+1|＞|c|，
故不等式f（c²+1）＞f（c）對任意c∈R成立．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．